Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} (\frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $e^{3 y + 9}$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $e^{3 y + 9}$ de $x^{2} e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$e^{3 y + 9} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 3 y + 9$ . Entonces $d u = 3 d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 3 y + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y + 9$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ como $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = - \frac{4}{x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{4}{x} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3 (- \frac{4}{x})$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{3 y + 9} = - 3 \frac{4}{x} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{4}{x}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 3 \cdot 4}{x} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 12}{x} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{3 y + 9} = - \frac{12}{x} + 3 K$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{3 y + 9})$ ; para ello, mueve $3 y + 9$ fuera del logaritmo.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Paso 3.4.3

Multiplica $3 y + 9$ por $1$ .

$3 y + 9 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Paso 3.5

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$

Paso 3.6

Divide cada término en $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.1

Divide $- 9$ por $3$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} - 3$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + K)}{3} - 3$