Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y + 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x}{y + 1}$

Paso 1.2.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x^{1}}{y + 1}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{y + 1}$

Paso 1.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x (x + 1)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 1$

Paso 1.2.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 1$

Paso 1.2.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(y + 1) d y = (x^{2} + x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y + 1 d y = \int x^{2} + x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int d y = \int x^{2} + x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} + x d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} + x d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} + x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int x d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + K$

Paso 3.3

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $\frac{x^{3}}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Paso 3.3.2

Resta $\frac{x^{2}}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = K$

Paso 3.3.3

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Paso 3.4

Multiplica por el mínimo común denominador $6$ , luego simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2

Simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{3}}{3}$ al numerador.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 (3) (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4.3

Cancela el factor común.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 \cdot (3 (\frac{- x^{2}}{2})) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4.4

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.6

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K = 0$

Paso 3.4.3

Mueve $6 y$ .

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Paso 3.4.4

Reordena $3 y^{2}$ y $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Paso 3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.6

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 6$ y $c = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.4

Simplifica.

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Paso 3.7.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.4.3

Multiplica $- 6$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.5

Factoriza $12$ de $36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K$ .

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Paso 3.7.1.5.1

Factoriza $12$ de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.5.2

Factoriza $12$ de $24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.5.3

Factoriza $12$ de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.5.4

Factoriza $12$ de $72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.5.5

Factoriza $12$ de $12 (3) + 12 (2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.5.6

Factoriza $12$ de $12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.5.7

Factoriza $12$ de $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.6

Reescribe $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)$ como $2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))$ .

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Paso 3.7.1.6.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.6.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$