Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} + 2 y$

Paso 1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = e^{3 x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 2 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} e^{3 x}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} e^{3 x}$

Paso 3.3

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x + 3 x}$

Paso 3.3.2

Suma $- 2 x$ y $3 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = e^{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = e^{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 2 x} y = \int e^{x} d x$

Paso 7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{- 2 x} y = e^{x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- 2 x} y = e^{x} + C$ por $e^{- 2 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- 2 x} y = e^{x} + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{- 2 x}$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{e^{3 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3.1.2.4

Divide $e^{3 x}$ por $1$ .

$y = e^{3 x} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$