Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Combina $x^{- 4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Paso 2.3.4.2

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

Paso 2.3.6

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Paso 4.2

Simplifica $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Paso 4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

Paso 4.2.1.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

Paso 4.2.2

Suma $- \frac{3}{4}$ y $0$ .

$- \frac{3}{4} + C = 3$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{3}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

Paso 4.3.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 4.3.3

Combina $3$ y $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$C = \frac{12 + 3}{4}$

Paso 4.3.5.2

Suma $12$ y $3$ .

$C = \frac{15}{4}$

Paso 5

Sustituye $\frac{15}{4}$ por $C$ en $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{15}{4}$ por $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Simplifica $4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

Paso 5.2.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$