Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 8 \int t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = 3 t^{2} - 5$ . Entonces $d u = 6 t d t$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 3 t^{2} - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $3 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 5]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} - 5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$6 t + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $6 t$ y $0$ .

$6 t$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$s + C_{1} = 8 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Paso 2.3.3

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{6} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $\frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{12} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 2.3.7.2.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4 (1)}{12} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{1}{3} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + K$