Cálculo Ejemplos

$x y d y = (x^{2} + 2 y^{2}) d x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $(x^{2} + 2 y^{2}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y d y - (x^{2} + 2 y^{2}) d x = 0$

Paso 1.2

Reescribe.

$- (x^{2} + 2 y^{2}) d x + x y d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + 2 y^{2})]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (x^{2} + 2 y^{2})$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Paso 2.4

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (2 y)$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y = y$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 4 y = y$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $- 4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 y - y}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x y$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x y$ por $N$ .

$\frac{- 4 y - y}{x y}$

Paso 5.3.2

Resta $y$ de $- 4 y$ .

$\frac{- 5 y}{x y}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y}{x y}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{x}$

Paso 5.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Paso 6.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 6.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 5 \ln (| x |)$ al mover $- 5$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- (x^{2} + 2 y^{2}) d x + x y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- (x^{2} + 2 y^{2})$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- (x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- x^{2} - (2 y^{2})) \frac{1}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $- x^{2} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - (2 y^{2})}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (2 y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 y^{2})}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.8

Reescribe $- (x^{2} + 2 y^{2})$ como $- 1 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 y^{2})}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.10

Multiplica $x y$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Paso 7.11

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.11.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x (y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Paso 7.11.2

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Paso 7.11.3

Cancela el factor común.

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Paso 7.11.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Paso 7.12

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{4}} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = \frac{y}{x^{4}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $\frac{1}{x^{4}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{x^{4}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{4}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4} \cdot 2} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{4}} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $2$ por $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.4

Combina $\frac{1}{2 x^{4}}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 12.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.8

Combina $- 4$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.9

Combina $\frac{- 4 y^{2}}{2}$ y $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.10

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.11

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 12.3.11.1

Factoriza $2$ de $- 4 y^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Suma $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} + x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Combina los términos opuestos en $- 2 y^{2} + x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Paso 13.1.1.3.1

Suma $- 2 y^{2}$ y $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2}}{x^{5}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{5}$ .

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Paso 13.1.1.4.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{5}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.1.4.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{3}} = 0$

Paso 13.1.2

Resta $\frac{1}{x^{3}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{3}}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- \frac{1}{x^{3}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 14.4

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (x) = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 14.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 14.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 14.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$g (x) = - \int x^{- 3} d x$

Paso 14.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Paso 14.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.7.1

Simplifica.

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Paso 14.7.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Paso 14.7.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (x) = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Paso 14.7.2

Simplifica.

$g (x) = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 14.7.3

Simplifica.

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Paso 14.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (x) = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 14.7.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 x^{2}}$ por $1$ .

$g (x) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + \frac{1}{2 x^{2}} + C$