Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} \cdot e^{2 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{3 x} \cdot e^{2 y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 y}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $e^{2 y}$ de $e^{3 x} \cdot e^{2 y}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}$

Paso 1.2.2

Multiplica $e^{3 x - 2 y}$ por $e^{2 y}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y + 2 y}$

Paso 1.2.2.2

Combina los términos opuestos en $3 x - 2 y + 2 y$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x + 0}$

Paso 1.2.2.2.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = e^{3 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{2 y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u_{1} = - 2 y$ . Entonces $d u_{1} = - 2 d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u_{1} = - 2 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.3.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.6

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$- \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 3 x$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $e^{- 2 y}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{e^{3 x}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{e^{3 x}}{3} - 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{- 2 y} = \frac{- 2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 y} = - \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{- 2 y})$ ; para ello, mueve $- 2 y$ fuera del logaritmo.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Paso 3.5

Divide cada término en $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} + K)}{2}$