Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $1 - y$ .

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(1 - y) d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 1 - y d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int - y d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int - y d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} - \int y d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$y - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.6

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + K$

Paso 3.3

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $\frac{x^{3}}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = K$

Paso 3.3.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - K = 0$

Paso 3.4

Multiplica por el mínimo común denominador $6$ , luego simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (- \frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2

Simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{2}}{2}$ al numerador.

$6 (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot (3 (\frac{- y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.4

Reescribe la expresión.

$3 (- y^{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{3}}{3}$ al numerador.

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3.3

Cancela el factor común.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3.4

Reescribe la expresión.

$- 3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 6 K = 0$

Paso 3.4.3

Mueve $6 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{3} - 6 K + 6 y = 0$

Paso 3.4.4

Reordena $- 3 y^{2}$ y $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 3 y^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Paso 3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.6

Sustituye los valores $a = - 3$ , $b = 6$ y $c = - 2 x^{3} - 6 K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.4

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.5

Multiplica $- 6$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.6

Factoriza $12$ de $36 - 24 x^{3} - 72 K$ .

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Paso 3.7.1.6.1

Factoriza $12$ de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.6.2

Factoriza $12$ de $- 24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.6.3

Factoriza $12$ de $- 72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.6.4

Factoriza $12$ de $12 (3) + 12 (- 2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.6.5

Factoriza $12$ de $12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.7

Reescribe $12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)$ como $2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))$ .

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Paso 3.7.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$