Cálculo Ejemplos

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 2 x e^{- y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Paso 1.2.2

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x e^{- y}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = - y$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

Paso 1.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

Paso 1.3.7

Reescribe $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

Paso 1.3.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Resta $2 x e^{- y}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Paso 1.4.2

Reordena los factores de $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

Paso 1.4.3

Reordena los factores en $- 2 e^{- y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $e^{- y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{- y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 x e^{- y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $e^{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $e^{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $- 2 x e^{- y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $e^{x} + 2 x e^{- y}$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $e^{x} + 2 x e^{- y}$ por $M$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Paso 4.3.3

Sustituye $e^{x} + 2 x e^{- y}$ por $M$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int d y}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Paso 5.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ por el factor integrador $e^{y}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $e^{x} + 2 x e^{- y}$ por $e^{y}$ .

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Paso 6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $e^{- y}$ por $e^{y}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Mueve $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Paso 6.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Paso 6.4.3

Resta $y$ de $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Paso 6.5

Simplifica $2 x e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $e^{x} + e^{- y}$ por $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

Paso 6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Paso 6.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Paso 6.9

Multiplica $e^{- y}$ por $e^{y}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.9.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

Paso 6.9.2

Suma $- y$ y $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

Paso 6.10

Simplifica $e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

Paso 8.2

Sea $u = x + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.2.1

Deja $u = x + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 8.2.1.1

Diferencia $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 8.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 8.2.1.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 8.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 8.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 8.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

Paso 8.3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

Paso 8.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

Paso 8.5

Simplifica.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

Paso 8.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x + y} + y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Paso 11.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 11.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.3.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.3.6

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Suma $e^{x + y}$ y $0$ .

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Paso 11.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $e^{x + y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ .

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Paso 12.1.2.1

Resta $e^{x + y}$ de $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Paso 12.1.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $2 x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Paso 13.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 13.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 13.5.2

Simplifica.

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Paso 13.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 13.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Paso 13.5.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$