Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x - 1$ , $f (0) = - 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (x^{4} - x^{3} + x - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Paso 2.3.6

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $- 3$ por $y$ en $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ .

$- 3 = \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + K = - 3$

Paso 4.2.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + 0 + 0 + K$ .

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 + 0 + K = - 3$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 + K = - 3$

Paso 4.2.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$0 + K = - 3$

Paso 4.2.2.4

Suma $0$ y $K$ .

$K = - 3$

Paso 5

Sustituye $- 3$ por $K$ en $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 3$ por $K$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Paso 5.2.2

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - x - 3$