Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

Paso 1.2

Sea $u_{1} = 2 x - 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Deja $u_{1} = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 1.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 1.3

Combina $\sqrt{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 1.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 1.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 1.6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

Paso 1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Paso 1.7.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Paso 1.7.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Paso 1.7.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Paso 1.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Paso 1.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Paso 1.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Paso 1.8

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

Sea $u_{2} = 2 x - 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Deja $u_{2} = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.3.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3.3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3.3.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3.3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 3.3.3.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 3.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.4

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.8

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.9.1

Simplifica.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.9.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.9.2.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.9.2.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.9.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $30$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.9.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.9.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.9.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.9.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.9.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$