Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

Paso 2

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 2.1.1

Divide la fracción $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Paso 2.1.2

Resta $\frac{x y}{x^{17}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Paso 2.2

Reescribe la ecuación con coeficientes aislados.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 2.3

Factoriza $y$ de $- \frac{x y}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 2.4

Reordena $y$ y $- \frac{x}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 3

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ .

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Paso 3.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

Paso 3.2

Integra $- \frac{x}{x^{17}}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{17}$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

Paso 3.2.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{17}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Paso 3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

Paso 3.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

Paso 3.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.3.1

Mueve $x^{16}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{16})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

Paso 3.2.3.2.2

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

Paso 3.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 16}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

Paso 3.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.2.5.1

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1.1

Combina $x^{- 15}$ y $\frac{1}{15}$ .

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

Paso 3.2.5.1.2

Mueve $x^{- 15}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

Paso 3.2.5.2

Simplifica.

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica.

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Paso 3.2.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Paso 3.2.5.3.2

Multiplica $\frac{1}{15 x^{15}}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Paso 3.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

Paso 4

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Paso 4.1

Multiplica cada término por $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{17}$ .

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{x^{16}}$ y $y$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{y}{x^{16}}$ y $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{17}$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $x$ de $- 16 f x$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

Paso 4.6

Combina $\frac{16 f}{x^{16}}$ y $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Paso 5

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Paso 6

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Paso 7

Integra el lado izquierdo.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Paso 8

Integra el lado derecho.

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Paso 8.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Paso 8.2

Dado que $16 f$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16 f$ fuera de la integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

Paso 8.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Paso 8.4

Sea $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.4.1

Deja $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.4.1.1

Diferencia $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

Paso 8.4.1.2

Como $\frac{1}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{15 x^{15}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

Paso 8.4.1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.4.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{15}}$ como ${(x^{15})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

Paso 8.4.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{15})}^{- 1}$ .

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Paso 8.4.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

Paso 8.4.1.3.2.2

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

Paso 8.4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 15$ .

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

Paso 8.4.1.5

Simplifica los términos.

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Paso 8.4.1.5.1

Combina $- 15$ y $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

Paso 8.4.1.5.2

Combina $\frac{- 15}{15}$ y $x^{- 16}$ .

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

Paso 8.4.1.5.3

Mueve $x^{- 16}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

Paso 8.4.1.5.4

Cancela el factor común de $- 15$ y $15$ .

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Paso 8.4.1.5.4.1

Factoriza $15$ de $- 15$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Paso 8.4.1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.4.1.5.4.2.1

Factoriza $15$ de $15 x^{16}$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

Paso 8.4.1.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Paso 8.4.1.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

Paso 8.4.1.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{16}}$

Paso 8.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

Paso 8.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

Paso 8.6

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

Paso 8.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

Paso 8.8

Simplifica.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

Paso 8.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

Paso 9

Divide cada término en $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ por $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ por $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Paso 9.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Paso 9.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Paso 9.3.1.2

Divide $16 f$ por $1$ .

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$