Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $y$ de $3 y + x^{2} y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Paso 1.1.2

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + y x^{2}}{x - 4 x y}$

Paso 1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 3 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Paso 1.1.4

Multiplica $y$ por $3 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x - 4 x y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x^{1} - 4 x y}$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 - 4 x y}$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 + x (- 4 y)}$

Paso 1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot (1 - 4 y)}$

Paso 1.2.5

Multiplica $x$ por $1 - 4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x (1 - 4 y)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1 - 4 y}{y}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} (\frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{y}{1 - 4 y}$ por $\frac{3 + x^{2}}{x}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $1 - 4 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Factoriza $1 - 4 y$ de $(1 - 4 y) x$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) (x)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 + x^{2}}{x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 - 4 y}{y} d y = \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 - 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.2.3.2

Divide $- 4$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - 4 y + C_{2} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\ln (| y |) - 4 y + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.2.7

Reordena los términos.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Paso 2.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Paso 2.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Paso 2.3.3.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \int x d x$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 4 y + \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C$