Cálculo Ejemplos

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + 2 t$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

Paso 2.4

Como $2 t$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

Paso 2.5

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 y^{2} t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

Paso 3.2

Como $3 y^{2} t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2} t$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 0$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 y^{2} = 0$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $3 y^{2} t$ por $N$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye $3 y^{2} t$ por $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $3 y^{2} + 0$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $3$ de $3 (y^{2}) + 3 (0)$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

Paso 5.3.2.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.4.1

Factoriza $3$ de $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Paso 5.3.2.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Paso 5.3.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

Paso 5.3.3

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{t}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{t}$ y $x$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

Paso 6.2.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ por el factor integrador $e^{\frac{x}{t}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $y^{3} + 2 t$ por $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $3 y^{2} t$ por $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Dado que $3 t e^{\frac{x}{t}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3 t e^{\frac{x}{t}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Reescribe $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

Paso 9.3.2.2

Combina $\frac{3}{3}$ y $t$ .

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Paso 9.3.2.3

Combina $\frac{3 t}{3}$ y $e^{\frac{x}{t}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Paso 9.3.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Paso 9.3.2.4.2

Divide $t e^{\frac{x}{t}}$ por $1$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Como $t y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ con respecto a $x$ es $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ .

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.3

Como $\frac{1}{t}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{t}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.5

Multiplica $\frac{1}{t}$ por $1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.6

Combina $e^{\frac{x}{t}}$ y $\frac{1}{t}$ .

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.7

Combina $t$ y $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.8

Combina $y^{3}$ y $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.9

Cancela el factor común de $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.3.9.2

Divide $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ por $1$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 12.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Resta $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

Paso 13.1.2

Combina los términos opuestos en $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.2.1

Resta $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ de $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

Paso 13.1.2.2

Suma $2 t e^{\frac{x}{t}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $2 t e^{\frac{x}{t}}$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Paso 14.3

Dado que $2 t$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 t$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

Paso 14.4

Sea $u = \frac{x}{t}$ . Entonces $d u = \frac{1}{t} d x$ , de modo que $t d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.1

Deja $u = \frac{x}{t}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.1.1

Diferencia $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

Paso 14.4.1.2

Como $\frac{1}{t}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{t}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{t} \cdot 1$

Paso 14.4.1.4

Multiplica $\frac{1}{t}$ por $1$ .

$\frac{1}{t}$

Paso 14.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

Paso 14.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{t}$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

Paso 14.5.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

Paso 14.6

Dado que $t$ es constante con respecto a $u$ , mueve $t$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

Paso 14.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.7.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

Paso 14.7.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

Paso 14.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

Paso 14.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

Paso 14.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

Paso 14.9

Simplifica.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

Paso 14.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{t}$ .

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Paso 16

Reordena los factores en $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ .

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$