Cálculo Ejemplos

$\frac{d u}{d t} = e^{2 u + 4 t}$

Paso 1

Sea $v = e^{2 u + 4 t}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{2 u + 4 t}$ .

$\frac{d u}{d t} = v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d t}$ mediante la diferenciación de $e^{2 u + 4 t}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 u + 4 t$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 u + 4 t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 u + 4 t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 u + 4 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 u] + \frac{d}{d t} [4 t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (\frac{d}{d t} [2 u] + \frac{d}{d t} [4 t])$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 u$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [u]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [u] + \frac{d}{d t} [4 t])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d t} [u]$ como $u'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + \frac{d}{d t} [4 t])$

Paso 2.5

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4 \cdot 1)$

Paso 2.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4)$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{2 u + 4 t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (2 u' + 4)$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} - 2 = v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d t}$

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Paso 5.1.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} = v + 2$

Paso 5.1.2

Multiplica ambos lados por $2 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} (2 v) = (v + 2) (2 v)$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.3.1.1

Simplifica $\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} (2 v)$ .

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Paso 5.1.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Paso 5.1.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 v$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Paso 5.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Paso 5.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + 2) (2 v)$

Paso 5.1.3.1.1.3

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + 2) (2 v)$

Paso 5.1.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d t} = (v + 2) (2 v)$

Paso 5.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.2.1

Simplifica $(v + 2) (2 v)$ .

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Paso 5.1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d t} = v (2 v) + 2 (2 v)$

Paso 5.1.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.3.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d t} = 2 v \cdot v + 2 (2 v)$

Paso 5.1.3.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 v \cdot v + 4 v$

Paso 5.1.3.2.1.3

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.2.1.3.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 (v \cdot v) + 4 v$

Paso 5.1.3.2.1.3.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 v^{2} + 4 v$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 v^{2} + 4 v}$ .

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} (2 v^{2} + 4 v)$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2 v^{2} + 4 v$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} (2 v^{2} + 4 v)$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} d v = 1 d t$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} d v = \int d t$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $2 v$ de $2 v^{2} + 4 v$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Factoriza $2 v$ de $2 v^{2}$ .

$\frac{1}{2 v \cdot v + 4 v}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Factoriza $2 v$ de $4 v$ .

$\frac{1}{2 v \cdot v + 2 v \cdot 2}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Factoriza $2 v$ de $2 v \cdot v + 2 v \cdot 2$ .

$\frac{1}{2 v (v + 2)}$

Paso 6.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $2 v (v + 2)$ .

$\frac{1 (2 v (v + 2))}{2 v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 v (v + 2))}{2 v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (v (v + 2))}{v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.5

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v (v + 2))}{v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (v + 2)}{v + 2} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.6

Cancela el factor común de $v + 2$ .

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Paso 6.2.1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v + 2)}{v + 2} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.7.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.7.1.2

Divide $A (2 (v + 2))$ por $1$ .

$1 = A (2 (v + 2)) + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 A (v + 2) + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 2 A v + 2 A \cdot 2 + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.7.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$1 = 2 A v + 4 A + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.7.5

Cancela el factor común de $v + 2$ .

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Paso 6.2.1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 2 A v + 4 A + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Paso 6.2.1.1.7.5.2

Divide $B (2 v)$ por $1$ .

$1 = 2 A v + 4 A + B (2 v)$

Paso 6.2.1.1.7.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 A v + 4 A + 2 B v$

Paso 6.2.1.1.8

Reordena.

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Paso 6.2.1.1.8.1

Mueve $A$ .

$1 = 2 v A + 4 A + 2 B v$

Paso 6.2.1.1.8.2

Mueve $B$ .

$1 = 2 v A + 4 A + 2 v B$

Paso 6.2.1.1.8.3

Mueve $4 A$ .

$1 = 2 v A + 2 v B + 4 A$

Paso 6.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 2 A + 2 B$

Paso 6.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 4 A$

Paso 6.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = 4 A$

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = 4 A$

Paso 6.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 4 A$ .

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Paso 6.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$0 = 2 A + 2 B$

Paso 6.2.1.3.1.2

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.3.1.2.1

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Paso 6.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 2 A + 2 B$ por $\frac{1}{4}$ .

$0 = 2 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$0 = 2 (\frac{1}{2 (2)}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$0 = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = \frac{1}{2} + 2 B$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} + 2 B = 0$ .

$\frac{1}{2} + 2 B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3.2

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3.3

Divide cada término en $2 B = - \frac{1}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.3.3.3.1

Divide cada término en $2 B = - \frac{1}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.3.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$B = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3.3.3.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.3.3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$B = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Paso 6.2.1.5

Simplifica.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Paso 6.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Paso 6.2.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4 v} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v + 2}$

Paso 6.2.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{v + 2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 v} - \frac{1}{(v + 2) \cdot 4}$

Paso 6.2.1.5.5

Mueve $4$ a la izquierda de $v + 2$ .

$\int \frac{1}{4 v} - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Paso 6.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{4 v} d v + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Paso 6.2.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Paso 6.2.4

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Paso 6.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Paso 6.2.6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{v + 2} d v) = \int d t$

Paso 6.2.7

Sea $u_{2} = v + 2$ . Entonces $d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.7.1

Deja $u_{2} = v + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 6.2.7.1.1

Diferencia $v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

Paso 6.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v + 2$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Paso 6.2.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

Paso 6.2.7.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $2$ con respecto a $v$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Paso 6.2.9

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Paso 7.1.1.2

Combina $\ln (| u_{2} |)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$

Paso 7.2

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$ por $4$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.2.1

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$ por $4$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{4}$ al numerador.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $t$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 \cdot t + C \cdot 4$

Paso 7.2.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 t + 4 C$

Paso 7.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 t + 4 C$

Paso 7.4

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{4 t + 4 C}$

Paso 7.5

Reescribe $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 t + 4 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 t + 4 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Paso 7.6

Resuelve $v$

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Paso 7.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 t + 4 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 t + 4 C}$

Paso 7.6.2

Multiplica ambos lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.6.3.1

Cancela el factor común de $| u_{2} |$ .

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Paso 7.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| v | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.4

Resuelve $v$

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Paso 7.6.4.1

Reordena los factores en $e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{4 t + 4 C}$

Paso 7.6.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{4 t + 4 C}$

Paso 8

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 8.1

Simplifica la constante de integración.

$v = \pm | u_{2} | e^{4 t + C}$

Paso 8.2

Reescribe $e^{4 t + C}$ como $e^{4 t} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{4 t} e^{C})$

Paso 8.3

Reordena $e^{4 t}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{4 t})$

Paso 8.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C | u_{2} | e^{4 t}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{2 u + 4 t}$ .

$e^{2 u + 4 t} = C | u_{2} | e^{4 t}$