Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d t} = 500 - 0.12 P$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{500 - 0.12 P}$ .

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $500 - 0.12 P$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} d P = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{500 - 0.12 P} d P = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 500 - 0.12 P$ . Entonces $d u = - 0.12 d P$ , de modo que $\frac{1}{- 0.12} d u = d P$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 500 - 0.12 P$ . Obtén $\frac{d u}{d P}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $500 - 0.12 P$ .

$\frac{d}{d P} [500 - 0.12 P]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $500 - 0.12 P$ con respecto a $P$ es $\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

$\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $500$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $500$ con respecto a $P$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 0.12$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $- 0.12 P$ con respecto a $P$ es $- 0.12 \frac{d}{d P} [P]$ .

$0 - 0.12 \frac{d}{d P} [P]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ es $n P^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 0.12 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 0.12$ por $1$ .

$0 - 0.12$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $0.12$ de $0$ .

$- 0.12$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.12} d u = \int d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.12}) d u = \int d t$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{0.12}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.12} d u = \int d t$

Paso 2.2.2.3

Mueve $0.12$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{0.12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.12}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{0.12} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1})$ como $- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $8.\overline{3}$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $500 - 0.12 P$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$

Paso 3

Resuelve $P$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ por $- 8.\overline{3}$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ por $- 8.\overline{3}$ .

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 8.\overline{3}$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 500 - 0.12 P |)$ por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.3

Factoriza $8.\overline{3}$ de $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3} (1)} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.4

Separa las fracciones.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.5

Divide $1$ por $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.6

Divide $t$ por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 t) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.7

Multiplica $0.12$ por $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{C}{8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.9

Multiplica por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3}}$

Paso 3.1.3.1.10

Factoriza $8.\overline{3}$ de $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3} (1)}$

Paso 3.1.3.1.11

Separa las fracciones.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{C}{1})$

Paso 3.1.3.1.12

Divide $1$ por $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 \frac{C}{1})$

Paso 3.1.3.1.13

Divide $C$ por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 C)$

Paso 3.1.3.1.14

Multiplica $0.12$ por $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$

Paso 3.2

Para resolver $P$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 500 - 0.12 P |)} = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.12 t - 0.12 C} = | 500 - 0.12 P |$

Paso 3.4

Resuelve $P$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ .

$| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$500 - 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Paso 3.4.3

Resta $500$ de ambos lados de la ecuación.

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ por $- 0.12$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ por $- 0.12$ .

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 0.12$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $P$ por $1$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12}$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Factoriza $0.12$ de $0.12$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12 (1)} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.3.1.4

Separa las fracciones.

$P = \frac{1}{0.12} \cdot \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.3.1.5

Divide $1$ por $0.12$ .

$P = 8.\overline{3} \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.3.1.6

Divide $\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ por $1$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + \frac{- 500}{- 0.12}$

Paso 3.4.4.3.1.7

Divide $- 500$ por $- 0.12$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + 4166.\overline{6}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t + C}) + 4166.\overline{6}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- 0.12 t + C}$ como $e^{- 0.12 t} e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t} e^{C}) + 4166.\overline{6}$

Paso 4.3

Reordena $e^{- 0.12 t}$ y $e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{C} e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$P = 8.\overline{3} (C e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$