Cálculo Ejemplos

$x^{5} y d x + ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = 0$

Paso 1

Resta $x^{5} y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x) d y = - x^{5} y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\csc (x) y}$ .

$\frac{1}{\csc (x) y} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $\csc (x)$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc (x) y$ .

$\frac{1}{\csc (x) (y)} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.1.2

Factoriza $\csc (x)$ de $(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x) (y)} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\csc (x) y} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} (y^{4} + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $y^{4} + 3 y^{2}$ .

$\frac{y^{4} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{4} + 3 y^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{4}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3$ .

$\frac{y^{2} (y^{2} + 3)}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $y$ de $y^{2} (y^{2} + 3)$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y^{1}} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y (y^{2} + 3)}{1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.4.2.5

Divide $y (y^{2} + 3)$ por $1$ .

$y (y^{2} + 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$(y \cdot y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.6

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 3.6.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(y^{1 + 2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$(y^{3} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Paso 3.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{\csc (x) y}$ al numerador.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

Paso 3.9.2

Factoriza $y$ de $\csc (x) y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (x^{5} y) d x$

Paso 3.9.3

Factoriza $y$ de $x^{5} y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

Paso 3.9.4

Cancela el factor común.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

Paso 3.9.5

Reescribe la expresión.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x)} x^{5} d x$

Paso 3.10

Combina $\frac{- 1}{\csc (x)}$ y $x^{5}$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- x^{5}}{\csc (x)} d x$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{x^{5}}{\csc (x)} d x$

Paso 3.12

Separa las fracciones.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}) d x$

Paso 3.13

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}) d x$

Paso 3.14

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} (1 \sin (x))) d x$

Paso 3.15

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \sin (x)) d x$

Paso 3.16

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{3} + 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{3} d y + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4.2.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 \int y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4.2.5.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - \int x^{5} \sin (x) d x$

Paso 4.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{5}$ y $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (5 x^{4}) d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - 5 \cos (x) x^{4} d x)$

Paso 4.3.4

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - (- 5 \int \cos (x) x^{4} d x))$

Paso 4.3.5

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 \int \cos (x) x^{4} d x)$

Paso 4.3.6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{4}$ y $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - \int \sin (x) (4 x^{3}) d x))$

Paso 4.3.7

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - (4 \int \sin (x) (x^{3}) d x)))$

Paso 4.3.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 \int \sin (x) (x^{3}) d x))$

Paso 4.3.9

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x)))$

Paso 4.3.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x)))$

Paso 4.3.11

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x))))$

Paso 4.3.12

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x)))$

Paso 4.3.13

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x))))$

Paso 4.3.14

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x)))))$

Paso 4.3.15

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x))))$

Paso 4.3.16

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)))))$

Paso 4.3.17

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)))))$

Paso 4.3.18

Simplifica.

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Paso 4.3.18.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)))))$

Paso 4.3.18.2

Multiplica $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)))))$

Paso 4.3.19

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$

Paso 4.3.20

Reescribe $- (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$ como $- (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + K$