Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de Bernoulli.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

Paso 1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Paso 1.4.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Paso 1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

Paso 1.4.5

Divide $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{2}$

Paso 4

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{2}$

Paso 5

Calcula la derivada de $v^{2}$ con respecto a $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la derivada de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Paso 6

Sustituye $2 v v'$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{2}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 7.1.1

Divide cada término en $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 v$ y simplifica.

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Paso 7.1.1.1

Divide cada término en $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.2

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 7.1.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.2.2

Divide $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.3

Cancela el factor común de $v^{2}$ y $v$ .

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Paso 7.1.1.2.1.3.1

Factoriza $v$ de $\frac{- 2}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.1.2.1.3.2.1

Factoriza $v$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.4

Combina $\frac{- 2}{x}$ y $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 v}{x}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

Paso 7.1.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

Paso 7.1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1.3.3.1

Multiplica los exponentes en ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.1.1.3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

Paso 7.1.1.3.3.2

Simplifica.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Paso 7.1.1.3.4

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 7.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Paso 7.1.1.3.4.2

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

Paso 7.1.2

Factoriza $v$ de $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

Paso 7.1.3

Reordena $v$ y $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

Paso 7.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Paso 7.2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 7.2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

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Paso 7.2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 7.2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Paso 7.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x)}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Paso 7.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 1}$

Paso 7.2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 7.3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Paso 7.3.2.4.1

Multiplica $\frac{v}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.2.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.2.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Paso 7.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Paso 7.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

Paso 7.3.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Paso 7.3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Paso 7.3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

Paso 7.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

Paso 7.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

Paso 7.6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

Paso 7.7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

Paso 7.7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 7.7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.7.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 7.7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.7.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 7.7.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.7.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 7.7.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

Paso 7.7.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

Paso 7.8

Resuelve $v$

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Paso 7.8.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $v$ .

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

Paso 7.8.2

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Paso 7.8.3

Simplifica.

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Paso 7.8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Paso 7.8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$v = (x^{2} + C) x$

Paso 7.8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.3.2.1

Simplifica $(x^{2} + C) x$ .

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Paso 7.8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = x^{2} x + C x$

Paso 7.8.3.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.8.3.2.1.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.8.3.2.1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$v = x^{2} x^{1} + C x$

Paso 7.8.3.2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$v = x^{2 + 1} + C x$

Paso 7.8.3.2.1.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$v = x^{3} + C x$

Paso 8

Sustituye $y^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$