Cálculo Ejemplos

$y (x^{2} - 1) d y - x (y^{2} - 1) d x = 0$

Paso 1

Suma $x (y^{2} - 1) d x$ a ambos lados de la ecuación.

$y (x^{2} - 1) d y = x (y^{2} - 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} - 1$ de $y (x^{2} - 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{y^{2} - 1}$ y $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Paso 3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Factoriza $y^{2} - 1$ de $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y^{2} - 1$ de $x (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x^{2} - 1} x d x$

Paso 3.5

Combina $\frac{1}{x^{2} - 1}$ y $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Paso 3.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

Paso 3.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Paso 4.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y + 1$ y $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.4.2

Multiplica $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 4.2.1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 4.2.1.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Paso 4.2.1.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Paso 4.2.1.1.3.8.2

Multiplica $y - 1$ por $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Paso 4.2.1.1.3.8.3

Suma $y$ y $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Paso 4.2.1.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 y + 0$

Paso 4.2.1.1.3.8.4.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sea $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Deja $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1.1

Diferencia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Paso 4.3.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.1.1.3.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.1.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.3.1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.3.1.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Paso 4.3.1.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.3.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Paso 4.3.1.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Paso 4.3.1.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Paso 4.3.1.1.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1

Expande $(y + 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Suma $- y$ y $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| x^{2} - 1 |)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 5.2.2.1.3

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 5.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

Paso 5.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

Paso 5.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.3

Expande $(y + 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{| y (y - 1) + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.4.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.4.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.4.2

Suma $- y$ y $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 0 - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.4.3

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.5.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6

Simplifica el denominador.

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Paso 5.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

Paso 5.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

Paso 5.6.3

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

Paso 5.6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

Paso 5.6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.6.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6.4.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6.4.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + 0 - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6.4.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Paso 5.6.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

Paso 5.6.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

Paso 5.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{2 C}$

Paso 5.8

Reescribe $\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Paso 5.9

Resuelve $y$

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Paso 5.9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$

Paso 5.9.2

Multiplica ambos lados por $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3

Simplifica.

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Paso 5.9.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.3.1.1

Simplifica $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) |$ .

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Paso 5.9.3.1.1.1

Cancela el factor común de $| (x + 1) (x - 1) |$ .

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Paso 5.9.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| (y + 1) (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.2

Expande $(y + 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.9.3.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| y (y - 1) + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.9.3.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.3.1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.3.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.3.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$| y^{2} - y + y - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.3.2

Suma $- y$ y $y$ .

$| y^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.1.1.3.3

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 5.9.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.9.3.2.1

Simplifica $e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

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Paso 5.9.3.2.1.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.9.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Paso 5.9.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Paso 5.9.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 5.9.3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.9.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.3.2.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 5.9.3.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 5.9.3.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 5.9.3.2.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 5.9.3.2.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Paso 5.9.3.2.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Paso 5.9.3.2.1.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

Paso 5.9.4

Resuelve $y$

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Paso 5.9.4.1

Reordena los factores en $e^{2 C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y^{2} - 1 | = | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

Paso 5.9.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 1 = \pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

Paso 5.9.4.3

Reordena los factores en $\pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$ .

$y^{2} - 1 = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

Paso 5.9.4.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1$

Paso 5.9.4.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x^{2} - 1 | + 1}$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C | x^{2} - 1 | + 1}$