Cálculo Ejemplos

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

Paso 1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ por $x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Paso 1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Paso 1.3.1.2

Divide $2 e^{- \frac{y}{x}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $V + 2 e^{- V} - V$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

Paso 6.1.1.1.2.2

Suma $2 e^{- V}$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ por $x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- V}}$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

Paso 6.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común de $e^{- V}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Paso 6.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- V}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- V})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- V \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $V$ por $1$ .

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $e^{V}$ por $1$ .

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

La integral de $e^{V}$ con respecto a $V$ es $e^{V}$ .

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Paso 6.3.2

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Expande $\ln (e^{V})$ ; para ello, mueve $V$ fuera del logaritmo.

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Paso 6.3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Paso 6.3.2.3

Multiplica $V$ por $1$ .

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Paso 6.3.3

Expande $\ln (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

Paso 6.3.4

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Paso 8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$