Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x^{2} - 1} y = 0$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{4}{x^{2} - 1}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{4}{x^{2} - 1} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{4}{x^{2} - 1}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{4 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Paso 1.2.2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.2.2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.2.2.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.2.2.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2.2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 1.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.2.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.7.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.2.2.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.7.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.7.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.7.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.2.2.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.2.2.1.7.5.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Paso 1.2.2.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Paso 1.2.2.1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Paso 1.2.2.1.8

Mueve $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Paso 1.2.2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 1.2.2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.2.2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.2.2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.2.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 1.2.2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.2.2.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.2.2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 1.2.2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Paso 1.2.2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- B) + B$ .

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Paso 1.2.2.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 1.2.2.3.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Paso 1.2.2.3.2.2.1.1.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Paso 1.2.2.3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Paso 1.2.2.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 2 B$ .

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Paso 1.2.2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Paso 1.2.2.3.3.2

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.3.3.2.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 1.2.2.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 1.2.2.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 1.2.2.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.2.2.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 1.2.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.2.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 1.2.2.5.2

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 1.2.2.5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 1.2.2.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Paso 1.2.2.5.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{4 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Paso 1.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{4 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 1.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{4 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 1.2.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{4 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 1.2.6

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.2.6.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.2.6.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.2.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.2.6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 1.2.7

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 1.2.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Paso 1.2.9

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.2.9.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.2.9.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.9.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.2.9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2.9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Paso 1.2.10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Paso 1.2.11

Simplifica.

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Paso 1.2.12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 1.2.12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Paso 1.2.12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Paso 1.2.13

Simplifica.

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Paso 1.2.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.13.1.1

Combina $\ln (| x + 1 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Paso 1.2.13.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Paso 1.2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{4 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Paso 1.2.13.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.13.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{2 (2) \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Paso 1.2.13.3.2

Cancela el factor común.

$e^{2 \cdot 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Paso 1.2.13.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)) + C}$

Paso 1.2.13.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

Paso 1.2.13.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x + 1) + 2 \ln (x - 1)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2}) + \ln ({(x - 1)}^{2})}$

Paso 1.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2})}$

Paso 1.6

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2}$

Paso 1.7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$

Paso 1.8

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ((x - 1) (x - 1))$

Paso 1.9

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Paso 1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Paso 1.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.10.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.10.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.10.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.10.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x + 1)$

Paso 1.10.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 2 x + 1)$

Paso 1.11

Multiplica $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ por $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.12

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.12.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.12.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$ y $y$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.4

Combinar.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{2} ((x + 1) (x - 1))} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.5

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.5.1

Mueve $x + 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1 + 2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y $x - 1$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2} (4 y)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x + 1)}^{3} (x - 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.7

Mueve $4$ a la izquierda de $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(x + 1)}^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x + 1)} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.4.2

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2 + 1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.1.2

Factoriza $x - 1$ de $4 (x - 1) y$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.1.3

Factoriza $x - 1$ de $(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.3

Reescribe $- 1 \frac{d y}{d x}$ como $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.4

Expande $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{(x - 1) (x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.5.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.5.2

Resta $\frac{d y}{d x} x$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 2.6.5.2.1

Mueve $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.5.2.2

Resta $x \frac{d y}{d x}$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.6.5.3

Suma $x^{2} \frac{d y}{d x}$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] = 0$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = \int 0 d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = 0 + C$

Paso 6.2

Suma $0$ y $C$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y$ .

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ y $y$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}} = C$

Paso 7.1.2

Reordena los factores en $\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = C$

Paso 7.2

Multiplica ambos lados por ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.4

Divide cada término en $y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ por ${(x - 1)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 7.4.1

Divide cada término en $y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ por ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 7.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$