Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x e^{x}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (x e^{x})$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (x e^{x})$

Paso 2.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x} e^{2 x} x$

Paso 2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x + 2 x} x$

Paso 2.3.3

Suma $x$ y $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{3 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{3 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{3 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} y = \int x e^{3 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Paso 6.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Paso 6.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Paso 6.4

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.4.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.4.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 6.4.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 6.4.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 6.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 6.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 6.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Paso 6.7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Paso 6.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Paso 6.9

Reescribe $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Paso 6.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $\frac{1}{3} x e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{x}}{1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{3} x e^{x}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{3} x e^{x}$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{x}{3} e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.2.2

Combina $\frac{x}{3}$ y $e^{x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- \frac{1}{9} e^{3 x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.3.2.4

Divide $- \frac{1}{9} e^{x}$ por $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{1}{9} e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.3.1.4

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{e^{x}}{9} + \frac{C}{e^{2 x}}$