Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 1 + e^{x}$ . Entonces $d u = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 1 + e^{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Paso 2.3.1.1.4

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$e^{x}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + e^{x}$ .

$y + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$