Cálculo Ejemplos

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $3 x^{4}$ de $3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3 x^{4}$ de $3 x^{4} y^{6}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) - 6 x^{4}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$

Paso 1.1.3

Factoriza $3 x^{4}$ de $3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6} - 2)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{6} - 2}$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{6} - 2} (3 x^{4} (y^{6} - 2))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 \frac{1}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

Paso 1.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{y^{6} - 2}$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y^{6} - 2$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y^{6} - 2$ de $x^{4} (y^{6} - 2)$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 x^{4}$

Paso 1.4

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = 3 x^{4} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{y^{6} - 2}$ y $y^{5}$ .

$\int \frac{y^{5}}{y^{6} - 2} d y = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = y^{6} - 2$ . Entonces $d u = 6 y^{5} d y$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = y^{5} d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = y^{6} - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $y^{6} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} - 2]$

Paso 2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{6} - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 y^{5} + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 2.2.2.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$6 y^{5} + 0$

Paso 2.2.2.1.5

Suma $6 y^{5}$ y $0$ .

$6 y^{5}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.2.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{6} - 2$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 \int x^{4} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \frac{3}{5} x^{5} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{3}{5} x^{5} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $6$ .

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |)) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $\ln (| y^{6} - 2 |)$ .

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{5}$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3 x^{5}}{5} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 \frac{3 x^{5}}{5} + 6 C$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $6 \frac{3 x^{5}}{5}$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $6$ y $\frac{3 x^{5}}{5}$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{6 (3 x^{5})}{5} + 6 C$

Paso 3.2.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y^{6} - 2 |)} = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} = | y^{6} - 2 |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$ .

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{6} - 2 = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Paso 3.5.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{6} = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2$

Paso 3.5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C} + 2}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C}$ como $e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C} + 2}$

Paso 4.3

Reordena $e^{\frac{18 x^{5}}{5}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{C} e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt[6]{C e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$