Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

Paso 1.2

Como $\frac{1}{x^{2}}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2} y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Paso 1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Paso 1.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Paso 1.6

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $y$ es $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.7

Simplifica los términos.

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Paso 1.7.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.7.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.7.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Paso 1.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Paso 2.4

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 1 = - 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = y - x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Paso 5.4

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8.2.2

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Resta $y$ de $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Simplifica $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

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Paso 9.1.1.1

Reescribe.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 9.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Paso 9.1.1.3

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $1 - x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Paso 9.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.2.2.1

Divide la fracción $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Paso 9.1.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 9.1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Paso 9.1.2.2.2.1.2

Divide $- 1 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Paso 9.1.2.2.2.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Paso 9.1.2.3

Combina los términos opuestos en $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

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Paso 9.1.2.3.1

Suma $- y$ y $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 9.1.2.3.2

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $\frac{1}{x^{2}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 10.3

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 10.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 10.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 10.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Paso 10.6

Reescribe $- x^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$