Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 1)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (3 (y + 1))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{y + 1} (y + 1)$

Paso 1.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y + 1} (y + 1)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y + 1} (y + 1)$

Paso 1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = 3$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 1} d y = 3 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int 3 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 3 d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 3 x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = 3 x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{3 x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y + 1 |) = 3 x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + C} = | y + 1 |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y + 1 | = e^{3 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{3 x + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{3 x + C}$

Paso 3.3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{3 x + C} - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{3 x + C}$ como $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x} e^{C} - 1$

Paso 4.2

Reordena $e^{3 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x} - 1$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{3 x} - 1$