Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{y} d x + 3 y d y = 0$

Paso 1

Resta $\frac{1}{y} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y d y = - \frac{1}{y} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y (3 y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 y \cdot y d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1

Mueve $y$ .

$3 (y \cdot y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 y^{2} d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 y^{2} d y = - y \frac{1}{y} d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 3 y^{2} d y = \int - 1 d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int y^{2} d y = \int - 1 d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - 1 d x$

Paso 4.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Paso 4.2.3.2

Simplifica.

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Paso 4.2.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Paso 4.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Paso 4.2.3.2.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Paso 4.3

Aplica la regla de la constante.

$y^{3} + C_{1} = - x + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{3} = - x + K$

Paso 5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- x + K}$