Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 5$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $y = e^{r x}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 5$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Paso 2.4

Elimina los paréntesis.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Paso 2.5

Factoriza $e^{r x}$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Paso 2.5.2

Factoriza $e^{r x}$ de $- 3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Paso 2.5.3

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Paso 2.5.4

Factoriza $e^{r x}$ de $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 3 x^{2} + 5$

Paso 2.5.5

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 3 x^{2} + 5$

Paso 2.6

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 3 x^{2} + 5$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.1.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} - 3 r + 2 - 3 x^{2} = 5$

Paso 3.1.1.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} - 3 r + 2 - 3 x^{2} - 5 = 0$

Paso 3.1.2

Resta $5$ de $2$ .

$r^{2} - 3 r - 3 x^{2} - 3 = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = - 3 x^{2} - 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 x^{2} - 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.6

Suma $9$ y $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7

Factoriza $3$ de $12 x^{2} + 21$ .

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Paso 3.4.1.7.1

Factoriza $3$ de $12 x^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7.2

Factoriza $3$ de $21$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7.3

Factoriza $3$ de $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Paso 3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.6

Suma $9$ y $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.7

Factoriza $3$ de $12 x^{2} + 21$ .

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Paso 3.5.1.7.1

Factoriza $3$ de $12 x^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.7.2

Factoriza $3$ de $21$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.7.3

Factoriza $3$ de $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Paso 3.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.6

Suma $9$ y $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.7

Factoriza $3$ de $12 x^{2} + 21$ .

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Paso 3.6.1.7.1

Factoriza $3$ de $12 x^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.7.2

Factoriza $3$ de $21$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.7.3

Factoriza $3$ de $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Paso 3.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Paso 4

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Paso 5

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Combina $\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$ y $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Paso 6.2

Combina $\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$ y $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}}$