Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (x)}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1.1

Simplifica $\frac{\sin (x)}{1 + y} \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Combina $\frac{\sin (x)}{1 + y}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y} = \cos (x)$

Paso 1.1.1.1.2

Reordena los factores en $\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} = \cos (x)$

Paso 1.1.2

Multiplica ambos lados por $1 + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

Paso 1.1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) (1 + y)$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica $\cos (x) (1 + y)$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) y$

Paso 1.1.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + \cos (x) y$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Reordena los factores en $\cos (x) + \cos (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + y \cos (x)$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Reordena $\cos (x)$ y $y \cos (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ por $\sin (x)$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.3.1.1

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.1.4.3.1.2

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.1.4.3.1.3

Divide $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.1.4.3.1.4

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \cot (x)$

Paso 1.2

Factoriza $\cot (x)$ de $y \cot (x) + \cot (x)$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\cot (x)$ de $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x)$

Paso 1.2.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$

Paso 1.2.3

Factoriza $\cot (x)$ de $\cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) (y + 1)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\cot (x) (y + 1))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $y + 1$ de $\cot (x) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \cot (x)$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 1} d y = \cot (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \cot (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \cot (x) d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| \sin (x) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| \sin (x) |) = C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| \sin (x) |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| \sin (x) |$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y + 1 | = e^{C} | \sin (x) |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | \sin (x) |$ .

$| y + 1 | = | \sin (x) | e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | \sin (x) | e^{C}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Reordena los factores en $\pm | \sin (x) | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | \sin (x) |$

Paso 3.5.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{C} | \sin (x) | - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm C | \sin (x) | - 1$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | \sin (x) | - 1$