Cálculo Ejemplos

$y (2 x y^{2} - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y^{2} - 3)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 2 x y^{2} - 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3] + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y^{2} - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + 0) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6

Suma $4 x y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \cdot 1$

Paso 1.9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.9.1

Multiplica $2 x y^{2} - 3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 2 x y^{2} - 3$

Paso 1.9.2

Suma $4 x y^{2}$ y $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 3$

Paso 1.9.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 3$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $6 y^{2} x - 3$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $6 y^{2} x - 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $6 y^{2} x - 3$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x y^{2} - 3) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y \int 2 x y^{2} - 3 d x$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = y (\int 2 x y^{2} d x + \int - 3 d x)$

Paso 5.3

Dado que $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y (2 y^{2} \int x d x + \int - 3 d x)$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x)$

Paso 5.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C)$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C)$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)]$ .

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Paso 8.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = y^{2} x^{2} - 3 x$ .

$y \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2} - 3 x] + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} x^{2} - 3 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.5

Como $- 3 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y (2 \cdot x^{2} y + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.8

Suma $2 x^{2} y$ y $0$ .

$y (2 x^{2} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.9

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.10

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.13

Multiplica $y^{2} x^{2} - 3 x$ por $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.14

Suma $2 x^{2} y^{2}$ y $y^{2} x^{2}$ .

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Paso 8.3.14.1

Reordena $y^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.3.14.2

Suma $2 x^{2} y^{2}$ y $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 9.1.2

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 0 + 3 x$

Paso 9.1.3.2

Suma $- 3 x + 4 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 3 x$

Paso 9.1.3.3

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $4 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $4 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Paso 10.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$g (y) = 4 \int y d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + 2 y^{2} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2}) + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Paso 12.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} y x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Paso 12.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 12.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = y^{2} y^{1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Paso 12.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = y^{2 + 1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Paso 12.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Paso 12.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} - 3 y x + 2 y^{2} + C$