Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 1 + y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y^{2}} (1 + y^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y^{2}} (1 + y^{2})$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\arctan (y) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = t + K$

Paso 3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (t + K)$