Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int x d x}$

Paso 1.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Paso 1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Paso 2.2

Reordena los factores en $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Entonces $d u_{1} = x d x$ , de modo que $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 6.1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Paso 6.1.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Paso 6.1.1.4.2

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Paso 6.1.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2}$

Paso 6.1.1.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$x$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = e^{u_{1}}$ y $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3.4

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3.5

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ fuera de la integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.5.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.5.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.5.4

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.6

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Reescribe $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ como $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 6.7.2

Simplifica.

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Paso 6.7.2.1

Resta $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ de $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Paso 6.7.2.2

Suma $0$ y $C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ .

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

Paso 9

Establece el numerador igual a cero.

$C = 0$

Paso 10

Sustituye $0$ por $C$ en $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $0$ por $C$ .

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Paso 10.2

Divide $0$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$y = 0$