Cálculo Ejemplos

$2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} - 3 x = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$ por $2 \sqrt{y}$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$ por $2 \sqrt{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{2 \sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{2 \sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $\sqrt{y}$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $\frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Paso 1.1.2.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 \sqrt{y} \sqrt{y}}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Mueve $\sqrt{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 (\sqrt{y} \sqrt{y})}$

Paso 1.1.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}$

Paso 1.1.2.3.2.4

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}$

Paso 1.1.2.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Paso 1.1.2.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {\sqrt{y}}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2.7

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.1.2.3.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.2.3.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.3.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.2.3.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{1}}$

Paso 1.1.2.3.2.7.5

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{y}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.4.2.1

Multiplica $\frac{y}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.4.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.2.6.5

Simplifica.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.3.2

Divide $\sqrt{y}$ por $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Paso 1.4.4

Multiplica $\frac{3 x}{2}$ por $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$

Paso 1.4.5

Multiplica $\sqrt{y} \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$ .

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Paso 1.4.5.1

Combina $\sqrt{y}$ y $\frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y} (3 x \sqrt{y})}{2 y}$

Paso 1.4.5.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{2 y}$

Paso 1.4.5.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{2 y}$

Paso 1.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{2 y}$

Paso 1.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {\sqrt{y}}^{2}}{2 y}$

Paso 1.4.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 y}$

Paso 1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 y}$

Paso 1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{2}{2}}}{2 y}$

Paso 1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{2}{2}}}{2 y}$

Paso 1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{1}}{2 y}$

Paso 1.4.6.5

Simplifica.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y}{2 y}$

Paso 1.4.7

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y}{2 y}$

Paso 1.4.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{\sqrt{y}} d y = \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{y}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int y \cdot y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.2.2.1

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.1.2.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{1} y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.2.1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{1 - \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.2.1.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.2.1.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int y^{\frac{2 - 1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.2.1.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \frac{3 x}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{4} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{4} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.6

Divide $y^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{3 x^{2}}{4} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3}{2} K$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combinar.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (3 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{3}{2} K$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $K$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (3 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3^{2} x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3^{2} x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.2.2.1.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = {(\frac{9 x^{2}}{8} + K)}^{\frac{2}{3}}$