Cálculo Ejemplos

$x d x - 4 y d y = 0$

Paso 1

Resta $x d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y d y = - x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - 4 y d y = \int - x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$- 4 \int y d y = \int - x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2}) + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.4

Multiplica $- \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 3.1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.4.2

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.4.3

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.4.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$ .

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Paso 3.3.1

Para escribir $- \frac{K}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.3.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{4}}$

Paso 3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - K \cdot 2}{4}}$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 K}{4}}$

Paso 3.3.5

Reescribe $\frac{x^{2} - 2 K}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)$ .

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Paso 3.3.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x^{2} - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{4}}$

Paso 3.3.5.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.3.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)}$

Paso 3.3.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Paso 3.3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{x^{2} - 2 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$