Cálculo Ejemplos

$(4 x - y) d x + (6 y - x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 4 x - y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x - y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.2.2

Como $4 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Paso 1.4

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 6 y - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 y - x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2.2

Como $6 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Paso 2.4

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 1 = - 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x - y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 4 x - y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 4 x d x + \int - y d x$

Paso 5.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 4 \int x d x + \int - y d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 2 x^{2} - y x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} - y x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 y - x$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x^{2} - y x + g (y)] = 6 y - x$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 y - x$

Paso 8.2.2

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 y - x$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 y - x$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 y - x$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 y - x$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - x + \frac{d g}{d y} = 6 y - x$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Resta $x$ de $0$ .

$- x + \frac{d g}{d y} = 6 y - x$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - x = 6 y - x$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 6 y - x + x$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $6 y - x + x$ .

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Paso 9.1.2.1

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $6 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $6 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 6 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 6 y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 6 y d y$

Paso 10.3

Dado que $6$ es constante con respecto a $y$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$g (y) = 6 \int y d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 6 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $6 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{6}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{3}{1} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$g (y) = 3 y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 2 x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} - y x + 3 y^{2} + C$