Cálculo Ejemplos

$10 x y y' = 1 - y^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Divide cada término en $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ por $10 x y$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ por $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.1.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{10 x y}$

Paso 2.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Paso 2.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Paso 2.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y}{10 x}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x}$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Para escribir $- \frac{y}{10 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{y}{10 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y \cdot y}{10 x y}$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y}{10 x y}$

Paso 2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y \cdot y}{10 x y}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe $y \cdot y$ como $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.2.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 x y}$

Paso 2.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados por $\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} (\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $10 y$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $10 y$ de $10 y x$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y (x)}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $(1 + y) (1 - y)$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 2.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Dado que $10$ es constante con respecto a $y$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.2

Sea $u = (1 + y) (1 - y)$ . Entonces $d u = - 2 y d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.2.2.1

Deja $u = (1 + y) (1 - y)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Diferencia $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Paso 3.2.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = 1 + y$ y $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3

Diferencia.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3.6.3

Reescribe $- 1 (1 + y)$ como $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 3.2.2.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 3.2.2.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 3.2.2.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.2.2.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Paso 3.2.2.1.3.11

Multiplica $1 - y$ por $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Paso 3.2.2.1.4

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Paso 3.2.2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.2.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Paso 3.2.2.1.4.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$- y + 0 - y$

Paso 3.2.2.1.4.2.3

Suma $- y$ y $0$ .

$- y - y$

Paso 3.2.2.1.4.2.4

Resta $y$ de $- y$ .

$- 2 y$

Paso 3.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$10 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$10 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.7

Simplifica.

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Paso 3.2.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.7.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 3.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.7.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.9

Simplifica.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 + y) (1 - y)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \ln (| x |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Expande $(1 + y) (1 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 5 \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1.5.1

Mueve $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.2.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.2.2

Suma $- y$ y $y$ .

$- 5 \ln (| 1 + 0 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$- 5 \ln (| 1 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1

Simplifica $- 5 \ln (| 1 - y^{2} |)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.4

Suma $\ln (| x |)$ a ambos lados de la ecuación.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$

Paso 4.5

Divide cada término en $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Divide $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})$ por $1$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 4.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 4.5.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Paso 4.5.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - \ln (| x |)$

Paso 4.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) + \ln (| x |) = - C$

Paso 4.7

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$

Paso 4.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |)} = e^{- C}$

Paso 4.9

Reescribe $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = {| 1 - y^{2} |}^{5} | x |$

Paso 4.10

Resuelve $y$

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Paso 4.10.1

Reescribe la ecuación como ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$

Paso 4.10.2

Divide cada término en ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ por $| x |$ y simplifica.

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Paso 4.10.2.1

Divide cada término en ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ por $| x |$ .

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Paso 4.10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.10.2.2.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 4.10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Paso 4.10.2.2.1.2

Divide ${| 1 - y^{2} |}^{5}$ por $1$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Paso 4.10.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$| 1 - y^{2} | = \sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$

Paso 4.10.4

Simplifica $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ .

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Paso 4.10.4.1

Reescribe $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ como $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$

Paso 4.10.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Paso 4.10.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.10.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{\sqrt[5]{| x |} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Paso 4.10.4.3.2

Eleva $\sqrt[5]{| x |}$ a la potencia de $1$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Paso 4.10.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1 + 4}}$

Paso 4.10.4.3.4

Suma $1$ y $4$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{5}}$

Paso 4.10.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[5]{| x |}}^{5}$ como $| x |$ .

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Paso 4.10.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{| x |}$ como ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Paso 4.10.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 4.10.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Paso 4.10.4.3.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.10.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Paso 4.10.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{1}}$

Paso 4.10.4.3.5.5

Simplifica.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{| x |}$

Paso 4.10.4.4

Reescribe ${\sqrt[5]{| x |}}^{4}$ como $\sqrt[5]{{| x |}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} \sqrt[5]{{| x |}^{4}}}{| x |}$

Paso 4.10.4.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$

Paso 4.10.4.6

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Paso 4.10.5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Paso 4.10.6

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Paso 4.10.7

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$

Paso 4.10.8

Divide cada término en $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.10.8.1

Divide cada término en $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.10.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.10.8.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.10.8.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.10.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.10.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.10.8.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.10.8.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ como $- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.10.8.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1$

Paso 4.10.9

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1}$

Paso 5

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} C}}{| x |}) + 1}$