Cálculo Ejemplos

$\frac{d T}{d t} + 0.069 T = 2.07$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 0.069$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 0.069 d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{0.069 t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{0.069 t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{0.069 t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{0.069 t}$ .

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + e^{0.069 t} (0.069 T) = e^{0.069 t} \cdot 2.07$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = e^{0.069 t} \cdot 2.07$

Paso 2.3

Mueve $2.07$ a la izquierda de $e^{0.069 t}$ .

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = 2.07 \cdot e^{0.069 t}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = 2.07 e^{0.069 t}$ .

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 T e^{0.069 t} = 2.07 e^{0.069 t}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{0.069 t} T] = 2.07 e^{0.069 t}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{0.069 t} T] d t = \int 2.07 e^{0.069 t} d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{0.069 t} T = \int 2.07 e^{0.069 t} d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $2.07$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2.07$ fuera de la integral.

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int e^{0.069 t} d t$

Paso 6.2

Sea $u = 0.069 t$ . Entonces $d u = 0.069 d t$ , de modo que $\frac{1}{0.069} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = 0.069 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $0.069 t$ .

$\frac{d}{d t} [0.069 t]$

Paso 6.2.1.2

Como $0.069$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $0.069 t$ con respecto a $t$ es $0.069 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.069 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.069 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $0.069$ por $1$ .

$0.069$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int e^{u} \frac{1}{0.069} d u$

Paso 6.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{0.069}$ .

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int \frac{e^{u}}{0.069} d u$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{0.069}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.069}$ fuera de la integral.

$e^{0.069 t} T = 2.07 (\frac{1}{0.069} \int e^{u} d u)$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{0.069}$ y $2.07$ .

$e^{0.069 t} T = \frac{2.07}{0.069} \int e^{u} d u$

Paso 6.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{0.069 t} T = \frac{2.07}{0.069} (e^{u} + C)$

Paso 6.7

Reescribe $\frac{2.07}{0.069} (e^{u} + C)$ como $30 e^{u} + C$ .

$e^{0.069 t} T = 30 e^{u} + C$

Paso 6.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $0.069 t$ .

$e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$ por $e^{0.069 t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$ por $e^{0.069 t}$ .

$\frac{e^{0.069 t} T}{e^{0.069 t}} = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{0.069 t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{0.069 t} T}{e^{0.069 t}} = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $T$ por $1$ .

$T = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{0.069 t}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$T = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $30$ por $1$ .

$T = 30 + \frac{C}{e^{0.069 t}}$