Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} y^{2}$ de $4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2} y^{2}$ de $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 1.2.2

Factoriza $x^{2} y^{2}$ de $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$

Paso 1.2.3

Factoriza $x^{2} y^{2}$ de $x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x - 3)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2} (4 x - 3))$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{2} y^{2} (4 x - 3)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Paso 1.4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Paso 1.4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x - 3)$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$

Paso 1.4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$

Paso 1.4.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}$

Paso 1.4.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Paso 1.4.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.4.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Paso 1.4.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}$

Paso 1.4.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 \cdot x^{2}$

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.5

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.3.6.2.5.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.5.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$ .

$x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $x^{4} y - x^{3} y + K y$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y$ de $x^{4} y$ .

$y x^{4} - x^{3} y + K y = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $y$ de $- x^{3} y$ .

$y x^{4} + y (- x^{3}) + K y = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y x^{4} + y (- x^{3}) + y K = - 1$

Paso 3.3.2.4

Factoriza $y$ de $y x^{4} + y (- x^{3})$ .

$y (x^{4} - x^{3}) + y K = - 1$

Paso 3.3.2.5

Factoriza $y$ de $y (x^{4} - x^{3}) + y K$ .

$y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ por $x^{4} - x^{3} + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ por $x^{4} - x^{3} + K$ .

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{4} - x^{3} + K$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{x^{4} - x^{3} + K}$