Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.2.1.3.2

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Paso 2.3.2.1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.2.1.3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Paso 2.3.2.1.3.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Paso 2.3.2.1.3.4.3

Combina $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Paso 2.3.2.1.3.4.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.3.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Paso 2.3.2.1.3.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.3.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Paso 2.3.2.1.3.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.1.3.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Paso 2.3.2.1.3.4.4.2.4

Divide $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Paso 2.3.2.1.3.4.5

Reordena los factores en $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.4

Reordena los términos.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$