Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{9}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de Bernoulli.

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{9}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$

Paso 2

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{9}$ .

$v = y^{- 8}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

Paso 4

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

Paso 5

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{8}}$ con respecto a $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.4.1

Multiplica $v^{\frac{1}{8}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.4.4.2

Resta $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 5.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.7

Combina $- 1$ y $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.9.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.9.2

Resta $8$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.11

Combina $\frac{1}{8}$ y $v^{- \frac{7}{8}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.12

Mueve $v^{- \frac{7}{8}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.13

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.14

Combina $\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ y $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.15

Reescribe $\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ como un producto.

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

Paso 5.16

Multiplica $\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5.17

Multiplica $v^{\frac{7}{8}}$ por $v^{\frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.17.1

Mueve $v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

Paso 5.17.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

Paso 5.17.3

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

Paso 5.17.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.17.4.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

Paso 5.17.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

Paso 5.17.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

Paso 5.17.6

Suma $2$ y $7$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

Paso 6

Sustituye $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- \frac{1}{8}}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$ .

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ por $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.1.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ por $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $8 v^{\frac{9}{8}}$ .

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Paso 7.1.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.2

Factoriza $8 v^{\frac{9}{8}}$ de $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} v^{\frac{9}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5

Multiplica $v^{- \frac{1}{8}}$ por $v^{\frac{9}{8}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.2.1.5.1

Mueve $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5.4

Resta $1$ de $9$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5.5

Divide $8$ por $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.6

Simplifica $- 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.8

Combina $- 8$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.10

Combina $v$ y $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 8}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.2.1.11

Mueve $8$ a la izquierda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Paso 7.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Paso 7.1.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Paso 7.1.1.3.3

Multiplica los exponentes en ${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ .

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Paso 7.1.1.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

Paso 7.1.1.3.3.2

Multiplica $- \frac{1}{8} \cdot 9$ .

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Paso 7.1.1.3.3.2.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

Paso 7.1.1.3.3.2.2

Combina $- 9$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Paso 7.1.1.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Paso 7.1.1.3.4

Multiplica $v^{- \frac{9}{8}}$ por $v^{\frac{9}{8}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.3.4.1

Mueve $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

Paso 7.1.1.3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

Paso 7.1.1.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

Paso 7.1.1.3.4.4

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

Paso 7.1.1.3.4.5

Divide $0$ por $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

Paso 7.1.1.3.5

Simplifica $- 8 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8$

Paso 7.1.2

Factoriza $v$ de $- \frac{8 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{8}{x}) = - 8$

Paso 7.1.3

Reordena $v$ y $- \frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = - 8$

Paso 7.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{8}{x}$ .

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Paso 7.2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{8}{x} d x}$

Paso 7.2.2

Integra $- \frac{8}{x}$ .

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Paso 7.2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{8}{x} d x}$

Paso 7.2.2.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$e^{- (8 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$e^{- 8 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 7.2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 8 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 7.2.2.5

Simplifica.

$e^{- 8 \ln (| x |) + C}$

Paso 7.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 8 \ln (x)}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 8})}$

Paso 7.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 8}$

Paso 7.2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}}$

Paso 7.3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{8}}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Paso 7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{8}}$ y $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Paso 7.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} (\frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Paso 7.3.2.3

Combina $\frac{8}{x}$ y $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x}$ .

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Paso 7.3.2.4.1

Multiplica $\frac{8 v}{x}$ por $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x \cdot x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Paso 7.3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{8}$ .

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Paso 7.3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1} x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Paso 7.3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1 + 8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Paso 7.3.2.4.2.2

Suma $1$ y $8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{x^{8}}$ y $- 8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{- 8}{x^{8}}$

Paso 7.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = - \frac{8}{x^{8}}$

Paso 7.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] = - \frac{8}{x^{8}}$

Paso 7.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] d x = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Paso 7.6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{8}} v = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Paso 7.7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{8}} v = - \int \frac{8}{x^{8}} d x$

Paso 7.7.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{8}} v = - (8 \int \frac{1}{x^{8}} d x)$

Paso 7.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.7.3.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int \frac{1}{x^{8}} d x$

Paso 7.7.3.2

Mueve $x^{8}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int {(x^{8})}^{- 1} d x$

Paso 7.7.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{8})}^{- 1}$ .

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Paso 7.7.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{8 \cdot - 1} d x$

Paso 7.7.3.3.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{- 8} d x$

Paso 7.7.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 8}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{7} x^{- 7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7} x^{- 7} + C)$

Paso 7.7.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.7.5.1

Simplifica.

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Paso 7.7.5.1.1

Combina $x^{- 7}$ y $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{x^{- 7}}{7} + C)$

Paso 7.7.5.1.2

Mueve $x^{- 7}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}} + C)$

Paso 7.7.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}}) + C$

Paso 7.7.5.3

Simplifica.

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Paso 7.7.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = 8 \frac{1}{7 x^{7}} + C$

Paso 7.7.5.3.2

Combina $8$ y $\frac{1}{7 x^{7}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Paso 7.8

Resuelve $v$

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Paso 7.8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 7.8.1.1

Resta $\frac{8}{7 x^{7}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} = C$

Paso 7.8.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Paso 7.8.1.3

Combina $\frac{1}{x^{8}}$ y $v$ .

$\frac{v}{x^{8}} - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Paso 7.8.2

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.8.2.1

Suma $\frac{8}{7 x^{7}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{8}} - C = \frac{8}{7 x^{7}}$

Paso 7.8.2.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{8}} = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Paso 7.8.3

Multiplica ambos lados por $x^{8}$ .

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Paso 7.8.4

Simplifica.

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Paso 7.8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{8}$ .

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Paso 7.8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Paso 7.8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$v = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Paso 7.8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.4.2.1

Simplifica $(\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$ .

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Paso 7.8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{8}{7 x^{7}} x^{8} + C x^{8}$

Paso 7.8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{7}$ .

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Paso 7.8.4.2.1.2.1

Factoriza $x^{7}$ de $7 x^{7}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} x^{8} + C x^{8}$

Paso 7.8.4.2.1.2.2

Factoriza $x^{7}$ de $x^{8}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Paso 7.8.4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Paso 7.8.4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$v = \frac{8}{7} x + C x^{8}$

Paso 7.8.4.2.1.3

Combina $\frac{8}{7}$ y $x$ .

$v = \frac{8 x}{7} + C x^{8}$

Paso 7.8.4.2.1.4

Reordena $\frac{8 x}{7}$ y $C x^{8}$ .

$v = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

Paso 8

Sustituye $y^{- 8}$ por $v$ .

$y^{- 8} = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$