Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d θ} + e^{y - θ} = 3 e^{y - θ}$

Paso 1

Sea $v = e^{y - θ}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{y - θ}$ .

$\frac{d y}{d θ} + v = 3 v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d θ}$ mediante la diferenciación de $e^{y - θ}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = e^{θ}$ y $g (θ) = y - θ$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y - θ$ .

$\frac{d v}{d θ} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{u_{1}} \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - θ$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - θ$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [y] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (\frac{d}{d θ} [y] + \frac{d}{d θ} [- θ])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d θ} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' + \frac{d}{d θ} [- θ])$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- θ$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - \frac{d}{d θ} [θ])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - 1 \cdot 1)$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - 1)$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{y - θ}$ .

$\frac{d v}{d θ} = v (y' - 1)$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} + 1 + v = 3 v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d θ}$

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Paso 5.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d v}{d θ}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} + v = 3 v - 1$

Paso 5.1.1.2

Resta $v$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} = 3 v - 1 - v$

Paso 5.1.1.3

Resta $v$ de $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} = 2 v - 1$

Paso 5.1.2

Multiplica ambos lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} v = (2 v - 1) v$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.3.1.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} v = (2 v - 1) v$

Paso 5.1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d θ} = (2 v - 1) v$

Paso 5.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.2.1

Simplifica $(2 v - 1) v$ .

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Paso 5.1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d θ} = 2 v \cdot v - 1 v$

Paso 5.1.3.2.1.2

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.2.1.2.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 (v \cdot v) - 1 v$

Paso 5.1.3.2.1.2.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 v^{2} - 1 v$

Paso 5.1.3.2.1.3

Reescribe $- 1 v$ como $- v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 v^{2} - v$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = \frac{1}{2 v^{2} - v} (2 v^{2} - v)$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2 v^{2} - v$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = \frac{1}{2 v^{2} - v} (2 v^{2} - v)$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = 1$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} d v = 1 d θ$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 v^{2} - v} d v = \int d θ$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $v$ de $2 v^{2} - v$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Factoriza $v$ de $2 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (2 v) - v}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Factoriza $v$ de $- v$ .

$\frac{1}{v (2 v) + v \cdot - 1}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Factoriza $v$ de $v (2 v) + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (2 v - 1)}$

Paso 6.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $v (2 v - 1)$ .

$\frac{1 (v (2 v - 1))}{v (2 v - 1)} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.4

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v (2 v - 1))}{v (2 v - 1)} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 v - 1)}{2 v - 1} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.5

Cancela el factor común de $2 v - 1$ .

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Paso 6.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 v - 1)}{2 v - 1} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.1.2

Divide $A (2 v - 1)$ por $1$ .

$1 = A (2 v - 1) + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (2 v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 A v + A \cdot - 1 + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 2 A v - 1 \cdot A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.5

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = 2 A v - A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.6

Cancela el factor común de $2 v - 1$ .

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Paso 6.2.1.1.6.6.1

Cancela el factor común.

$1 = 2 A v - A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.6.2

Divide $B v$ por $1$ .

$1 = 2 A v - A + B v$

Paso 6.2.1.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = 2 v A - A + B v$

Paso 6.2.1.1.7.2

Reordena $B$ y $v$ .

$1 = 2 v A - A + B v$

Paso 6.2.1.1.7.3

Mueve $- A$ .

$1 = 2 v A + B v - A$

Paso 6.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 2 A + B$

Paso 6.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A$

Paso 6.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 2 A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = 2 A + B$

$1 = - 1 A$

Paso 6.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = - 1 A$ .

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Paso 6.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = 2 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2

Divide cada término en $- 1 A = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.1.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

Paso 6.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 2 A + B$ por $- 1$ .

$0 = 2 (- 1) + B$

$A = - 1$

Paso 6.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

Paso 6.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 2 + B$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 2 + B = 0$ .

$- 2 + B = 0$

$A = - 1$

Paso 6.2.1.3.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

Paso 6.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 2 A = - 1$

Paso 6.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 2, A = - 1$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{2}{2 v - 1}$

Paso 6.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Paso 6.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Paso 6.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Paso 6.2.4

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Paso 6.2.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $v$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Paso 6.2.6

Sea $u_{2} = 2 v - 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 d v$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.6.1

Deja $u_{2} = 2 v - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 6.2.6.1.1

Diferencia $2 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v - 1]$

Paso 6.2.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 v - 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

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Paso 6.2.6.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $2 v$ con respecto a $v$ es $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.6.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.2.6.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 6.2.6.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 6.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d θ$

Paso 6.2.7

Simplifica.

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Paso 6.2.7.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d θ$

Paso 6.2.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Paso 6.2.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d θ$

Paso 6.2.9

Simplifica.

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Paso 6.2.9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Paso 6.2.9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.9.2.1

Cancela el factor común.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Paso 6.2.9.2.2

Reescribe la expresión.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Paso 6.2.9.3

Multiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Paso 6.2.10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d θ$

Paso 6.2.11

Simplifica.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d θ$

Paso 6.2.12

Reordena los términos.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d θ$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = θ + C_{4}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = θ + C$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = θ + C$

Paso 7.2

Reordena $θ$ y $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + θ$

Paso 7.3

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + θ}$

Paso 7.4

Reescribe $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + θ$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C + θ} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Paso 7.5

Resuelve $v$

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Paso 7.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + θ}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + θ}$

Paso 7.5.2

Multiplica ambos lados por $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + θ} | v |$

Paso 7.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.3.1

Cancela el factor común de $| v |$ .

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Paso 7.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + θ} | v |$

Paso 7.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| u_{2} | = e^{C + θ} | v |$

Paso 7.5.4

Resuelve $v$

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Paso 7.5.4.1

Reescribe la ecuación como $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$

Paso 7.5.4.2

Divide cada término en $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ por $e^{C + θ}$ y simplifica.

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Paso 7.5.4.2.1

Divide cada término en $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ por $e^{C + θ}$ .

$\frac{e^{C + θ} | v |}{e^{C + θ}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Paso 7.5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{C + θ}$ .

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Paso 7.5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{C + θ} | v |}{e^{C + θ}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Paso 7.5.4.2.2.1.2

Divide $| v |$ por $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Paso 7.5.4.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Paso 8

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 8.1

Reordena los términos.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ + C}}$

Paso 8.2

Reescribe $e^{θ + C}$ como $e^{θ} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ} e^{C}}$

Paso 8.3

Reordena $e^{θ}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{y - θ}$ .

$e^{y - θ} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}$

Paso 10

Resuelve $y$

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Paso 10.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y - θ}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Paso 10.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Expande $\ln (e^{y - θ})$ ; para ello, mueve $y - θ$ fuera del logaritmo.

$(y - θ) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Paso 10.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y - θ) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Paso 10.2.3

Multiplica $y - θ$ por $1$ .

$y - θ = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Paso 10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y - θ = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}})$

Paso 10.4

Suma $θ$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}) + θ$

Paso 11

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 11.1

Reordena los términos.

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ + C}}) + θ$

Paso 11.2

Reescribe $e^{θ + C}$ como $e^{θ} e^{C}$ .

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ} e^{C}}) + θ$

Paso 11.3

Reordena $e^{θ}$ y $e^{C}$ .

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}) + θ$