Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 9 x y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (9 x y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = 9 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (x y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2.2

Combina $9$ y $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (x y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y^{\frac{1}{2}}$ de $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = 9 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 9 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 9 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 9 x d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 9 x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 9 x d x$

Paso 2.2.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 9 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $9 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $9$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{9}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2.2

Divide $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Combina $\frac{9}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9 x^{2}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.3

Combinar.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Expande $(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.3.1.1

Combinar.

$y = \frac{9 x^{2} (9 x^{2})}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{9 (x^{2} x^{2}) \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{9 x^{2 + 2} \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$y = \frac{9 x^{4} \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.3

Multiplica $9$ por $9$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5

Combinar.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.7

Combinar.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K (9 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K \cdot 9 x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9

Mueve $9$ a la izquierda de $K$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 \cdot K x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10

Multiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.10.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10.2

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10.3

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Suma $\frac{9 x^{2} K}{8}$ y $\frac{9 K x^{2}}{8}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Suma $\frac{9 K x^{2}}{8}$ y $\frac{9 K x^{2}}{8}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + K$