Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 3 x + 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.3.1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ .

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

Paso 4.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

Paso 4.2.4.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Paso 4.2.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

Paso 4.2.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $4$ .

$\frac{4}{3} + K = 1$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{4}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

Paso 4.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

Paso 4.3.4

Resta $4$ de $3$ .

$K = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = - \frac{1}{3}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{1}{3}$ por $K$ en $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{1}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Usa el teorema del binomio.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.3

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $27$ por $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.6

Multiplica $2$ por $108$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.7

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.9

Multiplica $9$ por $6$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.11

Multiplica $4$ por $54$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.12

Multiplica $3$ por $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.13

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.14

Multiplica $8$ por $12$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.15

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4

Simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.1.2

Factoriza $3$ de $81 x^{4}$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.1.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.1.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.2

Combina $27$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.3

Combina $\frac{27}{4}$ y $x^{4}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Factoriza $12$ de $216 x^{3}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.5

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 5.2.4.5.1

Factoriza $12$ de $216 x^{2}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.5.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.5.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.6

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 5.2.4.6.1

Factoriza $12$ de $96 x$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.4.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.7.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.7.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.7.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.4.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $4$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

Paso 5.4

Resta $1$ de $4$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

Paso 5.5

Divide $3$ por $3$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$