Cálculo Ejemplos

$x e^{x^{2}} d x + (y^{5} - 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $x e^{x^{2}} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(y^{5} - 1) d y = - x e^{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{5} - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{5} d y + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{5}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} - y + C_{2} = \int - x e^{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = \int - x e^{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int x e^{x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 2.3.2.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$ como $- \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$

Paso 2.3.4.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$