Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (8 x^{3} y^{2})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y^{2}} (x^{3} y^{2})$

Paso 1.2.2

Combina $8$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (x^{3} y^{2})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{3} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (y^{2} x^{3})$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (y^{2} x^{3})$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 8 x^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 8 \int x^{3} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $8$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 x^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = 2 x^{4} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = 2 x^{4} + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = 2 x^{4} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 x^{4} y + K y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = 2 x^{4} y + K y$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = 2 x^{4} y + K y$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = 2 x^{4} y + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{4} y + K y = - 1$ .

$2 x^{4} y + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $2 x^{4} y + K y$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y$ de $2 x^{4} y$ .

$y (2 x^{4}) + K y = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y (2 x^{4}) + y K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (2 x^{4}) + y K$ .

$y (2 x^{4} + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $y (2 x^{4} + K) = - 1$ por $2 x^{4} + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $y (2 x^{4} + K) = - 1$ por $2 x^{4} + K$ .

$\frac{y (2 x^{4} + K)}{2 x^{4} + K} = \frac{- 1}{2 x^{4} + K}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 x^{4} + K$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 x^{4} + K)}{2 x^{4} + K} = \frac{- 1}{2 x^{4} + K}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 x^{4} + K}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{2 x^{4} + K}$