Cálculo Ejemplos

$t \frac{d y}{d t} + 2 y = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d t}$

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Paso 1.1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$ por $t$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$ por $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t} - \frac{2 y}{t}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 - 2 y}{t}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 - 2 y}$ .

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{3 - 2 y} \cdot \frac{3 - 2 y}{t}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $3 - 2 y$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{3 - 2 y} \cdot \frac{3 - 2 y}{t}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 - 2 y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 3 - 2 y$ . Entonces $d u = - 2 d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 3 - 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $3 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - 2 y]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 2 y$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) = \ln (| t |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |)) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\ln (| 3 - 2 y |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| 3 - 2 y |)$ por $1$ .

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 \ln (| t |) - 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| t |) = - 2 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica $\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| t |)$ .

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Paso 3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| t |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln ({| t |}^{2}) = - 2 C$

Paso 3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| t |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln (t^{2}) = - 2 C$

Paso 3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 y | t^{2}) = - 2 C$

Paso 3.4.1.3

Reordena los factores en $\ln (| 3 - 2 y | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (t^{2} | 3 - 2 y |)} = e^{- 2 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (t^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = t^{2} | 3 - 2 y |$

Paso 3.7

Resuelve $y$

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ .

$t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$

Paso 3.7.2

Divide cada término en $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ por $t^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.7.2.1

Divide cada término en $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ por $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | 3 - 2 y |}{t^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Paso 3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.2.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

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Paso 3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2} | 3 - 2 y |}{t^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Paso 3.7.2.2.1.2

Divide $| 3 - 2 y |$ por $1$ .

$| 3 - 2 y | = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Paso 3.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Paso 3.7.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$

Paso 3.7.5

Divide cada término en $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.7.5.1

Divide cada término en $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.7.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.7.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.7.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.7.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.5.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.7.5.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm \frac{C}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$