Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ .

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $0.04 y + 8000$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 0.04 y + 8000$ . Entonces $d u = 0.04 d y$ , de modo que $\frac{1}{0.04} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 0.04 y + 8000$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{0.04}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $0.04$ por $1$ .

$0.04$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.2

Dado que $25$ es constante con respecto a $u$ , mueve $25$ fuera de la integral.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $0.04 y + 8000$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ por $25$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ por $25$ .

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ por $1$ .

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ .

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Paso 3.4.3

Resta $8000$ de ambos lados de la ecuación.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ por $0.04$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ por $0.04$ .

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $0.04$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Factoriza $0.04$ de $0.04$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.3.1.4

Separa las fracciones.

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.3.1.5

Divide $1$ por $0.04$ .

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.3.1.6

Divide $\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ por $1$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

Paso 3.4.4.3.1.7

Divide $- 8000$ por $0.04$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$