Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Paso 1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Paso 1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Paso 1.3.1.1.2

Divide $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $\tan (\frac{y}{x})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

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Paso 1.3.1.3.1

Combina $\sin (\frac{y}{x})$ y $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.3.2

Eleva $\sin (\frac{y}{x})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.3.3

Eleva $\sin (\frac{y}{x})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $\sin (\frac{y}{x})$ de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.2.2

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.2.3

Convierte de $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ a $\tan (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

Paso 1.3.2.4

Divide $\sin (\frac{y}{x})$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.1.1

Simplifica $V + \sin (V) \tan (V)$ .

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Paso 6.1.1.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1.1.1

Reescribe $\tan (V)$ en términos de senos y cosenos.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.1.1.1.2

Multiplica $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

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Paso 6.1.1.1.1.1.2.1

Combina $\sin (V)$ y $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.1.1.1.2.2

Eleva $\sin (V)$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.1.1.1.2.3

Eleva $\sin (V)$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.1.1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.1.1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1.2.1

Factoriza $\sin (V)$ de $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.1.1.2.2

Separa las fracciones.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.1.1.2.3

Convierte de $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ a $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Paso 6.1.1.1.1.2.4

Divide $\sin (V)$ por $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

Paso 6.1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $V + \sin (V) \tan (V) - V$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

Paso 6.1.1.2.2.2

Suma $\sin (V) \tan (V)$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Paso 6.1.1.2.3

Reescribe $\tan (V)$ en términos de senos y cosenos.

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.2.4

Multiplica $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

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Paso 6.1.1.2.4.1

Combina $\sin (V)$ y $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.2.4.2

Eleva $\sin (V)$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.2.4.3

Eleva $\sin (V)$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.2.5

Factoriza $\sin (V)$ de $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.2.6

Separa las fracciones.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Paso 6.1.1.2.7

Convierte de $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ a $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Paso 6.1.1.2.8

Divide $\sin (V)$ por $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ .

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $\sin (V) \tan (V)$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1.1

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (V)}$ a $\csc (V)$ .

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.3

Reescribe $\tan (V)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.5

Convierte de $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ a $\cot (V)$ .

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Como la derivada de $- \csc (V)$ es $\cot (V) \csc (V)$ , la integral de $\cot (V) \csc (V)$ es $- \csc (V)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.1.1

Divide cada término en $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.2.2

Divide $\csc (V)$ por $1$ .

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Paso 6.3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

Paso 6.3.2

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $V$ del interior de la cosecante.

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

Paso 6.4

Simplifica la constante de integración.

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$