Cálculo Ejemplos

$2 y - (2 x - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y + (- (2 x) - - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 y + (- 2 x - - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.3

Multiplica $- - y$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 y + (- 2 x + 1 y) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y + (- 2 x + y) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x} = - 2 y$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $- 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $- 2 x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x) + y (\frac{d y}{d x}) = - 2 y$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $y \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x) + \frac{d y}{d x} y = - 2 y$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} (- 2 x) + \frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$ por $- 2 x + y$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$ por $- 2 x + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2 x + y$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- 2 x + y}$

Paso 1.1.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x) + y}$

Paso 1.1.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x) - 1 (- y)}$

Paso 1.1.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x - y)}$

Paso 1.1.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.5.1

Reescribe $- (2 x - y)$ como $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- 1 (2 x - y)}$

Paso 1.1.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{2 y}{2 x - y}$

Paso 1.1.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{2 y}{2 x - y}$

Paso 1.1.4.3.5.4

Multiplica $\frac{2 y}{2 x - y}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{2 x - y}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{2 y}{2 x - y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{2 x - y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{2 y}{2 x - y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{(2 x - y) \frac{1}{x^{1}}}$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x^{1}} - y \frac{1}{x^{1}}}$

Paso 1.5

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x^{1}}}$

Paso 1.6

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Paso 1.7

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Paso 1.8

Multiplica $2 y \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.8.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Paso 1.8.2

Combina $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Paso 1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Paso 1.10

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.10.1.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{x \cdot 2 \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Paso 1.10.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{x \cdot 2 \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Paso 1.10.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 - y \frac{1}{x}}$

Paso 1.10.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 - \frac{y}{x}}$

Paso 1.11

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

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Paso 1.11.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2}{2 - \frac{y}{x}}$

Paso 1.11.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x}}{2 - \frac{y}{x}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V}{2 - V}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V}{2 - V}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Multiplica $2$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 V}{2 - V}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} - V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 - V}{2 - V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} - V \cdot \frac{2 - V}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.3.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{2 - V}{2 - V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} + \frac{- V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V - V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.1

Factoriza $V$ de $2 V - V (2 - V)$ .

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Paso 6.1.1.3.3.4.1.1

Factoriza $V$ de $2 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 2 - V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.1.2

Factoriza $V$ de $- V (2 - V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 2 + V (- (2 - V))}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.1.3

Factoriza $V$ de $V \cdot 2 + V (- (2 - V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - (2 - V))}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 1 \cdot 2 - - V)}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 - - V)}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4

Multiplica $- - V$ .

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Paso 6.1.1.3.3.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 + 1 V)}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4.2

Multiplica $V$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 + V)}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 + V)}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.6

Suma $0$ y $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.5.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5.2

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{1}}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 1}}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{2 - V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.7

Multiplica $\frac{V^{2}}{2 - V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Paso 6.1.1.3.3.8

Reordena los factores en $\frac{V^{2}}{(2 - V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x (2 - V)}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{2 - V}{V^{2}}$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $\frac{V^{2}}{2 - V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común de $2 - V$ .

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Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $2 - V$ de $(2 - V) x$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) (x)}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Paso 6.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 - V}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 - V}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1

Mueve $V^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (2 - V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 - V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (2 - V) V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $(2 - V) V^{- 2}$ .

$\int 2 V^{- 2} - V \cdot V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $V$ por $V^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve $V^{- 2}$ .

$\int 2 V^{- 2} - (V^{- 2} V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $V^{- 2}$ por $V$ .

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Paso 6.2.2.3.2.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 V^{- 2} - (V^{- 2} V^{1}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 V^{- 2} - V^{- 2 + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$\int 2 V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 V^{- 2} d V + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $V$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int V^{- 2} d V + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $V^{- 2}$ con respecto a $V$ es $- V^{- 1}$ .

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $V$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) - \int V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

La integral de $V^{- 1}$ con respecto a $V$ es $\ln (| V |)$ .

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) - (\ln (| V |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9

Simplifica.

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Paso 6.2.2.9.1

Simplifica.

$2 (- \frac{1}{V}) - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{V}$ .

$\frac{- 2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{2}{\frac{y}{x}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $- \frac{2}{\frac{y}{x}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{2}{\frac{y}{x}} + C$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 (\frac{x}{y}) + C$

Paso 8.2.2

Combina $2$ y $\frac{x}{y}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{2 x}{y} + C$

Paso 8.3

Divide cada término en $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{2 x}{y} + C + \ln (| x |)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.3.1

Divide cada término en $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{2 x}{y} + C + \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.2.2

Divide $\ln (| \frac{y}{x} |)$ por $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{2 x}{y}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{2 x}{y} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{2 x}{y}$ como $- \frac{2 x}{y}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3.1.5

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Paso 8.3.3.1.6

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C - \ln (| x |)$

Paso 8.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Paso 8.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Paso 8.6

Multiplica $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Paso 8.6.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Paso 8.6.2

Combina $\frac{y}{x}$ y $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Paso 8.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.7.1

Cancela el factor común.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Paso 8.7.2

Divide $y$ por $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2 x}{y} - C$