Cálculo Ejemplos

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 + 3 y + 3 y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 + 3 y + 3 y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 3 y + 3 y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 (2 y)$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 6 y$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 + 6 y$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 3$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x + 2 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $6 y + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y + 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y + 3 = 2 y + 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$6 y + 3 = 2 y + 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $6 y + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 y + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 y + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x + 2 x y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x + 2 x y$ por $N$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 y + 3 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 y$ de $6 y$ .

$\frac{4 y + 3 - 1}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.2.5

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{4 y + 2}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.2.6

Factoriza $2$ de $4 y + 2$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$\frac{2 (2 y) + 2}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.2.6.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 y) + 2 (1)}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.2.6.3

Factoriza $2$ de $2 (2 y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $x$ de $x + 2 x y$ .

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Paso 4.3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x^{1} + 2 x y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + 2 x y}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + x (2 y)}$

Paso 4.3.3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (2 y)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (1 + 2 y)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2 y + 1$ y $1 + 2 y$ .

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Paso 4.3.4.1

Reordena los términos.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Paso 4.3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Paso 4.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Paso 5.4.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$ por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $3 + 3 y + 3 y^{2}$ por $x^{2}$ .

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) x^{2} d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x + 2 x y$ por $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) x^{2} d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x \cdot x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1} x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Paso 6.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1 + 2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Paso 6.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x) y) d y = 0$

Paso 6.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) y) d y = 0$

Paso 6.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2 + 1} y) d y = 0$

Paso 6.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{3} y d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{3} y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Paso 8.3

Dado que $2 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 x^{3}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.5

Simplifica.

$f (x, y) = x^{3} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Paso 8.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Paso 8.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = x^{3} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Paso 8.6.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{3} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Paso 11.4.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{3} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 11.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $3 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y$

Paso 12.1.2

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 12.1.3.1

Reordena los factores en los términos $3 y x^{2}$ y $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 12.1.3.2

Resta $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 12.1.3.3

Suma $3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 12.1.3.4

Reordena los factores en los términos $3 y^{2} x^{2}$ y $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 12.1.3.5

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Paso 12.1.3.6

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $3 x^{2}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Paso 13.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 13.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.5.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Paso 13.5.2

Simplifica.

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Paso 13.5.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Paso 13.5.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Paso 13.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Paso 13.5.2.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + x^{3} + C$